스튜어트 정리

1. 개요2. 증명

3. 관련 문서

1. 개요 [편집]

스튜어트 정리(Stewart's theorem)는 스코틀랜드의 수학자 매튜 스튜어트가 증명한 정리로, 삼각형 관련 문제를 풀 때 아주 유용하며, 아래와 같다.

\displaystyle mb^2+nc^2=(m+n)(mn+d^2)=a(mn+d^2)

~~~문자를 조금 바꿔서 $c$ 를 $a$ 로 바꾸면 $\displaystyle mb^2+na^2=(m+n)(mn+d^2)$ 가 되는데 이렇게 하면 "명박이 나이 너무 많아 다이"(...)로 외울 수 있다.~~~

한편

m=n

이면,

\displaystyle mb^2+mc^2=2m(m^2+d^2)

이고, 양변을

m

으로 나눠주면

\displaystyle b^2+c^2=2(m^2+d^2)

보통 고등학교 때 배우는 중선 정리(아폴로니우스 정리[1])가 된다.

일반적으로 제2 코사인법칙을 이용해 증명하나, 피타고라스의 정리로도 증명이 가능하다.

두 변

\overline{\rm AP}

와

\overline{\rm CP}

가 이루는 각을

\theta

라 하자. 이때,

\triangle \rm APC

\displaystyle c^2=m^2+d^2-2md\cos\theta \quad \cdots \quad (\rm I)

한편,

\triangle \rm ABP

에 제2코사인 법칙을 적용하면,

\displaystyle \begin{aligned} b^2&=n^2+d^2-2nd\cos(\pi-\theta) \\&=n^2+d^2+2nd\cos\theta \quad \cdots \quad (\rm I\!I) \end{aligned}

(\rm I)

에

n

을,

(\rm I\!I)

에

m

을 곱하여 더하면, 스튜어트 정리가 유도된다.

\displaystyle \begin{aligned} mb^2+nc^2&=m^2n+nd^2-2mnd\cos\theta+mn^2+md^2+2mnd\cos\theta \\&=m^2n+mn^2+md^2+nd^2 \\&=mn(m+n)+d^2(m+n) \\&=(m+n)(mn+d^2)\\&=a(mn+d^2) \end{aligned}

\rm A

에서

\overline{\rm BC}

에 내린 수선의 발을

\rm{H}

라 하고,

\overline{\rm AH}=h

,

\overline{\rm PH}=x

라 하자. 피타고라스 정리에 의하여

\triangle \rm APH

에서

\displaystyle \begin{aligned} h^2+x^2=d^2 \end{aligned}

이고,

\triangle \rm AHC

에서 마찬가지로

\displaystyle \begin{aligned} h^2+(m-x)^2&=c^2 \end{aligned}

이것을 정리하고,

h^2+x^2=d^2

임을 이용하면,

\displaystyle \begin{aligned} c^2=d^2+m^2-2mx \end{aligned}

이다. 또,

\triangle \rm AHB

에 피타고라스 정리를 사용하면,

\displaystyle \begin{aligned} h^2+(n+x)^2=b^2 \quad \cdots \quad (\rm I) \end{aligned}

이것을 정리하고,

h^2+x^2=d^2

임을 이용하면,

\displaystyle \begin{aligned} b^2=d^2+n^2+2nx \quad \cdots \quad (\rm I\!I) \end{aligned}

이때,

(\rm I)

에

n

,

(\rm I\!I)

에

m

을 곱하여 더해주면, 스튜어트 정리가 유도된다.

\displaystyle \begin{aligned} & nd^2+m^2n-2mnx+md^2+mn^2+2mnx \\&=d^2(m+n)+mn(m+n) \\ &= (m+n)(mn+d^2) \\&=a(mn+d^2) \\&=mb^2+nc^2 \end{aligned}

[1] 파푸스의 정리라는 말은 우리나라 및 일본에서만 쓰임